В детстве была игра, сродни догонялкам, с присказкой "Брынди, брынди балалайка - под столом сидит Бабайка". Дети врассыпную - "бабайка" водит...
Бабайкой стращали непослушных детей. "А то Бабайка заберет"...
Ещё тогда, занимал вопрос, кто же такой этот таинственный и не очень добрый персонаж? Из более-менее логичного, что подходило в ту пору - был "Бабай", как обращение "Дядя", "мужчина" (вырос в Казахстане). Ну так, для себя притянул, чтобы ответить, но как-то не очень подходило, чего он там под столом делал ).
Так кто-ж такой - этот Бабайка? 
Вряд ли за давностью лет кто-то это помнит... Хотя очень большой пласт сакрального знания перешёл в присказки, детские игры, потешки и оттуда загадывает нам загадки
Был ли славянский бабай сродни татарскому "баю" и поэтому забирал детей - возможно. Это если мы примем за аксиому, что татаро-монгольское иго всё же было, и заодно имелся смысл забирать куда-то в это иго маленьких детей, что само по себе мероприятие вряд ли с высоким КПД
Пугали ли так детей или эта "пугалка" и нехорошесть бабая выросла из вообще ощущения неких сил, которые детей куда-то забирали, как гуси-лебеди Бабы-Яги?
Это мы сейчас считаем, что она хочет чего-то плохого, звоните в полицию, но архетип-то был - инициации и приобщения к хтонике матери-Земли и сакральным знаниям предков (за рекой Смородиной, за Калиновым мостом, дом обнесен костями да черепами - мир навий, мир загробный)
Можно потолковать слова "баба", от которого явно пошёл "бабай". Но вот пристёгивать к тюркскому "баю" или санскриту - ещё выбрать надо
Но само слово интересно в любом случае.
БАБАЙ - если нашу бабу-ягу разложить по звуковому звучанию, то она звучит как
БАБАЙАГА
Что уже само по себе интересное совпадение (ли?)
Как и интересен некий дух "кукуй", который тоже забирал детей за плохое поведение (а у кого плохое поведение? Кто самый живой, шаловливый, непослушный, любопытный, лезущий туда, куда интересно, живущий своими детскими представлениями, а не тем, как скажут взрослые, чьи магистрали картины мира гибки и живы, то есть примут и некое знание потустороннего мира. Вот таких детей забирают бабаи, бабы-яги, кукуи. Иначе зачем им маленькие копии взрослых?
Взрослые от этого пути отказались или его прошли, как однажды старшая сестра Иванушки, унесённого лебединой стаей. Нашедшая его, потому что тоже вхожа в сказочные миры
Полет в неведомые лесные дали будет приключением и радостью только для живого непоседы, горем - для послушного тихони. Ну и не забирают гуси-лебеди тихонь)
Так вот - кукуй. То же повторение двух одинаковых слогов и завершающий сонорный -й- - непарный, мягкий, палатальный звук на грани между согласными и гласными, характерный отдельной группе языковых древних систем мира
Вот такие ассоциации у меня
